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ワイルの補題 (ラプラス方程式) : ウィキペディア日本語版
ワイルの補題 (ラプラス方程式)[わいるのほだい]
数学におけるワイルの補題(ワイルのほだい、)とは、ヘルマン・ワイルの名にちなむもので、ラプラス方程式のすべての弱解は滑らかであることを述べている。これは例えば、滑らかでない弱解を持つ波動方程式とは対称的である。ワイルの補題は楕円型あるいは準楕円型正則性の特別な場合である。
== 補題の内容 ==

\Omegan-次元ユークリッド空間 \mathbb^ のある開部分集合とし、\Delta は通常のラプラス作用素を表すものとする。ワイルの補題〔Hermann Weyl, The method of orthogonal projections in potential theory, ''Duke Math. J.'', 7, 411-444 (1940). See Lemma 2, p. 415〕では、コンパクトなを持つすべての滑らかなテスト函数 \phi \in C_c^\infty(\Omega) に対して、次の式
:\int_ u(x) \Delta \phi (x) \, dx = 0
を満たす意味でラプラス方程式の弱解となるある局所可積分函数 u \in L_^(\Omega) が存在するなら、(測度 0 の集合上での定義の違いを除いて)u \in C^(\Omega) は滑らかであり、\Omega 内の各点で \Delta u = 0 を満たすことが示されている。
この結果は、\Omega における調和函数の内部正則性(interior regularity)を意味するが、境界 \partial\Omega 上での正則性については何も示されていない。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「ワイルの補題 (ラプラス方程式)」の詳細全文を読む



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